CURIOSIDADES

MEDIDAS

UM POUCO DE HISTÓRIA

Os sistemas de Pesos e Medidas são o resultado de uma evolução gradual sujeita a muitas influências. É difícil, portanto, estabelecer um percurso lógico e claro para o seu aparecimento. Contar, foi talvez à forma mais primitiva de medir. As comunidades pré-históricas utilizavam as unidades dos seus produtos principais para se exprimirem nas trocas. Por exemplo: um agricultor avaliava (media) uma ovelha em "mãos cheias de trigo" ou outro grão das suas produções. O sistema de medida por unidades de troca durou milénios. O desenvolvimento e aplicação de medidas lineares - antes do aparecimento das de peso e capacidade - apareceram entre 10.000 e 8.000 anos AC. As unidades de medida nesses tempos baseavam-se na comparação com objetos naturais. Depois começaram a utilizar-se algumas dimensões do corpo humano como padrão de medidas lineares. Por exemplo: os egípcios chamavam à distância entre o cotovelo e a extremidade do dedo médio: Braça. Entretanto, alguns povos, perceberam-se de que havia alguma uniformidade entre os pesos de algumas sementes e grãos e assim tomaram-os para bitolas de peso. Por exemplo: o Carat - ainda hoje usado pelos joalheiros modernos - resultou do peso da semente de alfarroba; ou o Grão - ainda usado como unidade de peso - tem origem no peso das sementes do trigo ou da cevada. A diversidade de todos estes métodos de medida levaram a que as sociedades primitivas, ao tornarem-se mais sofisticadas, tivessem a necessidade de normalizar os seus Sistemas de Pesos e Medidas.

NO EGITO
Provavelmente a mais antiga medida linear usada pelos egípcios, babilônios e hebreus, foi a braça. De origem incerta: ou talvez como a tal distância entre o cotovelo e a extremidade do dedo médio. Os egípcios tinham dois tipos de Braça:
A Braça Curta com 17,7 polegadas = 0,45 mts. A Braça Real com 20,6 polegadas = 0,524 mts A Braça Real era dividida em 7 Palmos e cada Palmo em 4 Dedos (com a largura do dedo médio)
É curioso que a Braça, ainda hoje é usada na marinharia como medida de comprimento para designar profundidades, ou cabos e linhas dos aprestos marítimos.

NA GRÉCIA E ROMA
Os gregos adaptaram alguns padrões dos sistemas desenvolvidos pelos egípcios e babilônios mas introduziram uma nova unidade: O Pé (Foot), dividido em 12 unidades designadas por Polegadas (Inches). Os romanos adaptaram o Pé (Foot) dividido em 12 Polegadas (Inches) para medida de comprimento. Para o sistema de pesos criaram a Onça (Oz) como a menor unidade. Depois: - Num sistema: 16 Oz = 1 Poud (Libra) - Noutro sistema: 1 Poud (Libra) = 12 Oz

NA IDADE MÉDIA
No obscurantismo da Idade Média quase todos os sistemas de medidas desapareceram ou não eram usados. Cada Cidade, Território ou Província usava as suas medidas com os conseqüentes erros, fraudes e enganos nos mercados. No Século XIV os mercadores ingleses estabeleceram o seu sistema de pesos baseado na Libra (Lb) = 7.000 Grãos (Gr) = 16 Onças (Oz) que ainda hoje é empregue em muitos países de expressão inglesa. No Século XV um outro sistema foi estabelecido: a Onça Troy (Oz troy) = 480 Grãos (Gr) = 12 Onças da Libra.

O SISTEMA MÉTRICO
A criação do Sistema Métrico Decimal foi um importante contributo da Revolução Francesa. Baseia-se em múltiplos de 10.
A sua unidade básica é o Metro; inicialmente definido como a décima milionésima parte do comprimento do meridiano terrestre entre os paralelos de Dunkerque e Barcelona (cerca de 1/4). Entre 1960 e 1983 foi redefinido como o comprimento de onda do isótopos 86 do Krypton; e em 1983 voltou a ser redefinido como o comprimento do percurso efetuado pela luz, no vácuo, em 1/299.792.458 segundos: medida que é reproduzível em laboratório. Hoje, o sistema métrico decimal é universalmente aceite, incluindo o Reino Unido depois da adesão à União Européia. Os Estados Unidos (USA) por inércia ou pela importância da sua economia ainda não sentiram a necessidade de adaptar este sistema. Em 1960, a 10ª Conferência Internacional de Pesos e Medidas adotou o International System of Units (SI).
Este sistema é baseado em sete unidades de medida:

• - O Metro para unidade de comprimento (m);
• - O Kilograma para unidade de massa (kg);
• - O Segundo para unidade de tempo (s);
• - O Kelvin para unidade de temperatura termodinâmica (K);
• - A Candela para unidade de intensidade luminosa ((cd);
• - O Ampère como unidade elétrica (A);
• - O Mole para a quantidade de substância (mol).

ARITMÉTICA DIGITAL
Durante algum tempo pensou-se que existiam tribos que não sabiam contar para além de dois, uma vez que só tinham nomes para os números um, dois e muitos. No entanto, estes povos arranjaram meios e métodos de realizar as suas contagens. As tribos com um vocabulário numérico muito reduzido tinham maneiras verdadeiramente elaboradas de contar pelos dedos das mãos e dos pés. A maior parte dos sistemas de contar primitivos baseavam-se no 5, no 10 ou no 20. A base 5 foi muito utilizada. Em muitos idiomas, as palavras que significam "cinco" e "mão" ou são as mesmas ou possuem uma raíz comum. Os Tamanacos, uma tribo da América do Sul, usavam a mesma palavra para 5 e para "uma mão inteira". O termo 6 significava "um na outra mão", 7 era "dois na outra mão" e analogamente para 8 e 9. O 10 eram "ambas as mãos". Para exprimir de 11 a 14, os Tamanacos estendiam ambas as mãos e contavam "um do pé, dois do pé", e assim sucessivamente até "um pé completo". O sistema continuava com o 16 expresso como "um no outro pé", e por aí adiante até ao 19. Vinte era a palavra dos Tamanacos para "um índio", "dois índios" significava 40 e assim sucessivamente. Os nomes primitivos dos números eram frequentemente idênticos aos das partes do corpo, como dedos das mãos e dos pés, ou outras. Ainda hoje, quando se fala de "dígitos" está-se a dar testemunho deste facto pois "dígitos" tem origem numa palavra em latim que significa dedos. Os sistemas de base 6 e de base 9 são extremamente raros. Segundo parece, foi sentida a necessidade de dar um nome aos números maiores que cinco, adaptou-se então um sistema de base 10. Hoje o sistema de base 10 é quase universal, incluindo tribos primitivas. Os matemáticos empenharam-se em destacar que, quando, ao contar, se vão tocando sucessivamente os dedos e outras partes do corpo, se está a exprimir o conceito de número ordinal (primeiro, segundo, terceiro, ...) enquanto que, quando os dedos são levantados de uma só vez para significar, por exemplo, 4 rãs, estão a exprimir o número cardinal (um, dois, três, ...) de um conjunto.

MULTIPLICAÇÃO USANDO OS DEDOS:
Durante a Idade Média e o Renascimento, poucas foram as pessoas que chegaram a conhecer a tabela de multiplicar para além de. Assim, usava-se um método muito popular que se baseava no uso dos complementos dos números dados relativamente a 10. Como tal, o complemento de n relativamente a 10 será 10-n. Neste método era frequente usar os dedos das mãos como instrumento de cálculo . Associa-se aos dedos de cada mão os números de 6 a 10, começando pelo dedo mindinho. Para multiplicar 7 por 8 tocam-se os dedos associados ao 7 e ao 8. Note-se que o complemento de 7 está representado pelos três dedos superiores (situados acima dos dedos em contacto) de uma mão e o complemento de 8 pelos dedos superiores na outra mão. Os cinco dedos inferiores representam o 5, ou seja, 5 dezenas. A 50 adiciona-se o produto dos dedos superiores, ou seja 6, dando no total 56. Como é isto possível? Ao calcular, juntam-se dedos na mão esquerda e ficam dedos. Na mão direita juntam-se dedos e sobram dedos. A soma dos dedos da mão esquerda com os dedos da mão direita representa as dezenas, ou seja, este resultado adiciona-se o produto dos dedos que sobram de ambas as mãos. Este método simples de usar os dedos para calcular o produto de qualquer par de números compreendidos entre 6 e 10 foi extensivamente usado durante o Renascimento, ainda hoje é utilizado em certas zonas rurais da Europa e da Rússia. Este método deve ser dado a conhecer aos alunos, em qualquer nível de escolaridade, visto ser um método de multiplicar interessante, curioso e motivante.

OS DEDOS E A TABUADA DE 9
Este subcapítulo apresenta um processo de multiplicar um algarismo por 9 usando os dedos. Associa-se aos dedos de cada mão os números de 1 a 10 começando pelo dedo polegar. Para saber o resultado de uma multiplicação por 9, levantam-se os 10 dedos das mãos.
O produto de vê-se baixando o n-ésimo dedo a contar da esquerda para a direita. Por exemplo, corresponde a baixar o 4º dedo. Ficam 3 dedos levantados antes do dedo que se baixa, e 6 depois. O que significa 36, que é o resultado pretendido. Do mesmo modo se faz para. Mas, porque é que isto se verifica? Baixando o n-ésimo dedo, ficavam então dedos levantados à esquerda, o número das dezenas, e 10-n dedos levantados à direita, o número das unidades.

REGRA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR O QUADRADO DE UM NÚMERO
Sabemos que para calcular uma potência basta multiplicar a base o n.º de vezes do expoente, ou seja, por exemplo: 42=4x4=16. No entanto Pitágoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potências, baseando-se na soma de números ímpares. Exemplos:
o primeiro número ímpar é 1 então 12=1
os primeiros dois números ímpares são 1 e 3, então 22=1+3
os primeiros três números ímpares são 1, 3 e 5, então 32=1+3+5
os primeiros quatro números ímpares são 1, 3, 5 e 7, então 42=1+3+5+7 e assim sucessivamente
Se pretendêssemos calcular 92 teríamos que 92=1+3+5+7+9+11+13+15+17=81 isto é, 92 é igual à soma dos primeiros 9 números ímpares.

A FÓRMULA É DE BHASKARA?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a formula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado, pois: Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase quatro mil anos atrás, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos coeficientes numéricos. Bhaskara que nasceu na Índia em 1114 e viveu até cerca de 1185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções mais conhecidas são Lilavati ("bela") e Vijaganita ("extração de raízes")de seus trabalhos que tratam de aritmética e álgebra respectivamente , e contem numerosos problemas sobre equações lineares e quadráticas (resolvidas também como receitas em prosa), progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros. Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação . Isso começou a ser feito a partir de François Viete, matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida formula de resolução da equação do 2ºgrau. Fontes: Boyer, C.B. História da matemática. São Paulo, Edgar Blucher, 1974. Eves, H. Introdução à história da matemática. São Paulo, Editora da Unicamp, 1995. A matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de matemática, SBM, 1996